Bu kanaate göre matematik sayılarla başlamakta, daha sonra karmaşıklaşarak geometriye, cebire ve diğer alanlara doğru genişlemektedir. Oysa insan zihninin işleyişine, matematik tarihine ve bilişsel gelişim süreçlerine birlikte bakıldığında farklı bir tablo ortaya çıkmaktadır. İnsan zihni dünyayı sayı olarak görmeye başlamaz. İlk karşılaşılan şey nesnedir; nesnenin biçimi, konumu, hareketi ve çevresiyle kurduğu ilişkidir. Matematiksel düşünce bu ilişkilerin fark edilmesiyle doğar.
Yeni doğan bir çocuğun dünyasında 3 sayısı, 5 sayısı veya 10 sayısı bulunmaz. Buna karşılık yüzler, yönler, mesafeler ve hareketler vardır. Çocuk annesinin yüzünü diğer yüzlerden ayırabilir, yaklaşan bir nesneyi takip edebilir, yakın ile uzağı zamanla birbirinden ayırt etmeye başlayabilir. Bu süreçte henüz aritmetik işlem yapılmamaktadır. Buna rağmen matematiksel kavrayışın ilk temelleri atılmaktadır. Çünkü insan zihni başlangıçtan itibaren uzamsal ilişkileri işlemektedir. Gelişim psikolojisi alanındaki araştırmalar, çocukların mekânsal farkındalıklarının niceliksel farkındalıklarından daha erken ortaya çıktığını göstermektedir. Jean Piaget, çocukların sayı kavramına ulaşmadan önce nesnelerin dizilişlerini, büyüklüklerini ve konumlarını ayırt etmeye başladıklarını belirtmektedir. ¹ Bu gözlem matematik eğitiminin temel varsayımlarından bazılarını yeniden düşünmeyi gerektirmektedir.
Matematik tarihine bakıldığında da benzer bir durum görülmektedir. Nil Nehri’nin taşkınlarından sonra arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ihtiyacı eski Mısır’da geometrik düşüncenin gelişmesine katkı sağlamıştır. Mezopotamya’da tahıl depolarının ölçülmesi, tapınakların inşası ve ticari kayıtların tutulması nicelik düşüncesini geliştirmiştir. Antik Yunan’da ise geometri matematiğin merkezine yerleşmiştir.
Bugün matematik denildiğinde akla gelen birçok konu sayı eksenli görünmesine rağmen, Antik Yunan matematiğinin omurgasını geometrik ilişkiler oluşturmaktadır. Öklid’in Elementler adlı eseri bunun en önemli örneğidir. Eserin ilk sayfalarında okuyucu herhangi bir cebirsel formülle karşılaşmaz. Nokta, doğru, yüzey ve şekil kavramları üzerinden kurulan mantıksal bir yapı bulunmaktadır.² Bu durum tesadüf değildir. Çünkü insan zihni gerçekliği önce biçim olarak kavramaktadır.
Burada dikkat edilmesi gereken husus, geometrinin şekillerden ibaret bir alan olarak anlaşılmamasıdır. Geometri çoğu zaman üçgenler, kareler ve daireler üzerinden tanıtılmaktadır. Böyle bir yaklaşım geometrinin mahiyetini daraltmaktadır. Geometri esas itibarıyla ilişkilerin görünür hâle gelmesidir. Bir ağacın gövdesi ile dalları arasındaki oranlar, bir nehrin yatağı boyunca izlediği güzergâh, bir yapının taşıyıcı kolonları arasındaki denge veya gök cisimlerinin hareketleri geometrik ilişkiler içermektedir. İnsan zihni çevresindeki dünyayı anlamlandırırken bu ilişkileri fark etmektedir. Matematiksel düşüncenin ilk adımı da burada ortaya çıkmaktadır.
Bir içecek kutusunun öğrencinin önünde durduğunu düşünelim. Bu nesne başlangıçta matematiksel bir problem değildir. Metalden yapılmış, belirli bir ağırlığı bulunan ve içinde sıvı taşıyan sıradan bir nesnedir. Öğrenci önce bu nesneyi görür. Sonra yüksekliğini fark eder. Ardından üst ve alt yüzeylerinin biçimini algılar. Eline aldığında çevresini hisseder. Bu süreçte zihnin yaptığı iş, nesneyi bütünüyle kaydetmek değildir. İnsan zihni dikkatini belirli ilişkilere yoğunlaştırır. Renkler, yazılar ve markalar zamanla arka planda kalırken biçimsel düzen öne çıkmaya başlar. Böylece nesne geometrik bir temsile dönüşür. İçecek kutusu artık bir silindir olarak görülmektedir.
Bu dönüşüm matematiksel kavrayış açısından son derece önemlidir. Çünkü zihin ilk kez belirli bir nesneden genel bir biçime geçmektedir. Geometri tam olarak bu geçiş alanında ortaya çıkar. Platon’un geometriye verdiği önem de burada anlaşılabilir hâle gelir. Platon, duyusal dünyada görülen şeylerin sürekli değişim içinde olduğunu, buna karşılık zihnin değişmeyen düzenleri aradığını belirtmektedir. ³ Geometrik biçimler bu değişmeyen düzenlerin görünür hâle gelmesini sağlar. Bir silindir tek bir nesneyi değil, belirli özellikleri paylaşan sonsuz sayıdaki nesneyi temsil eder. Böylece insan zihni tekilden tümele doğru hareket etmeye başlar.
Geometrik temsil ortaya çıktıktan sonra yeni bir ihtiyaç doğmaktadır. İnsan zihni biçimi görmekle yetinmez; onu ölçmek ister. Yüksekliğin ne kadar olduğu, çapın ne kadar genişlediği, çevrenin ne kadar alan kapladığı soruları ortaya çıkmaya başlar. Sayının kökeni burada aranmalıdır. Sayı başlangıçta bağımsız bir varlık olarak ortaya çıkmaz. Sayı ölçme faaliyetinin ürünüdür. İnsan biçimleri ölçülebilir hâle getirmek istediğinde sayı kavramına ulaşmaktadır. Bu nedenle sayı ile geometri arasında tarihsel ve mantıksal bir öncelik-sonralık ilişkisi bulunmaktadır. Geometri ilişkileri görünür hâle getirirken sayı bu ilişkileri ölçülebilir hâle getirmektedir.
Pisagorcu gelenek bu konuda dikkat çekici bir örnek sunmaktadır. Pisagorcular evrendeki düzenin sayısal oranlarla ifade edilebildiğini düşünmüşlerdir. ⁴ Müzikteki armoniden gök cisimlerinin hareketlerine kadar birçok olgunun belirli oranlar taşıdığına inanmışlardır. Günümüzde Pisagorcuların "Her şey sayıdır" ifadesi sıkça aktarılmaktadır. Fakat bu ifade çoğu zaman eksik anlaşılmaktadır. Pisagorcuların dikkat çektiği husus, sayının gerçeklikten bağımsız bir sembol oluşu değildir. Sayılar aracılığıyla görünür hâle gelen düzenlerdir. Onlar için sayı, evrendeki ilişkilerin okunabilir hâle gelmesinin aracıdır.
Çocukların sayı kavramını nasıl geliştirdiğine ilişkin araştırmalar da benzer sonuçlara işaret etmektedir. Piaget ve Alina Szeminska’nın yürüttüğü çalışmalar, çocuğun sayı kavramına doğrudan ulaşmadığını göstermektedir. ⁵ Çocuk önce nesneleri karşılaştırmakta, daha sonra eşleme yapmayı öğrenmekte, ardından miktar ilişkilerini kavramaktadır. Sayı bu ilişkilerin sonunda ortaya çıkmaktadır. 3 elma, 3 taş ve 3 kalem arasında ortak olan şey nesnelerin kendisi değildir. Ortak olan, üçlük ilişkisidir. İnsan zihni bu ortaklığı fark ettiğinde sayı kavramı oluşmaktadır.
Bu noktada matematik eğitimi açısından önemli bir problem ortaya çıkmaktadır. Eğitim süreçleri çoğu zaman sayıyı başlangıç noktasına yerleştirmektedir. Öğrenci önce rakamları öğrenmekte, daha sonra bu rakamların neyi temsil ettiğini anlamaya çalışmaktadır. Oysa zihinsel gelişim bunun ters yönünde ilerlemektedir. İnsan önce nesneyi görür, sonra biçimi kavrar, daha sonra ölçer ve sonunda sayısal ifadeler geliştirir. Bu sıralama bozulduğunda matematiksel kavrayış zayıflamaktadır. Öğrenci işlem yapmayı öğrenebilmekte, ancak işlemlerin hangi gerçeklik ilişkilerine karşılık geldiğini görmekte zorlanmaktadır.
Jerome Bruner’in öğrenme teorisi bu süreci açıklamaya yardımcı olmaktadır. Bruner, öğrenmenin eylemsel, imgesel ve sembolik temsiller üzerinden ilerlediğini belirtmektedir⁶. İnsan önce deneyimlemekte, sonra zihinsel görüntüler oluşturmaktadır. Semboller daha sonra ortaya çıkmaktadır. Matematik eğitimi bu doğal sıralamaya uygun biçimde kurgulandığında kavrayış derinleşmektedir. Öğrenci önce nesneyi tanımakta, ardından geometrik modeli kurmakta, daha sonra sayısal ilişkileri geliştirmekte ve sonunda formüllere ulaşmaktadır.
Aslında formüllerin ortaya çıkışı da bu sürecin devamıdır. İnsan zihni tek tek nesneleri açıklamakla yetinmez. Benzer yapıların tamamını açıklayabilecek genel ilkeler aramaya başlar. Bilimsel düşünce burada doğmaktadır. Bir içecek kutusunun yüzey alanını hesaplamak önemli bir bilgidir. Fakat zihin aynı yapıya sahip bütün silindirleri açıklayabilecek genel ilişkiyi aramaktadır. Formül bu arayışın sonucudur. Formül belirli bir nesnenin resmi değildir. Çok sayıdaki nesnede tekrar eden ortak ilişkinin sembolik ifadesidir.
Bu noktada Immanuel Kant’ın matematik anlayışı dikkat çekicidir. Kant, matematiksel bilginin deneyimden bağımsız biçimde ortaya çıkmadığını, insan zihninin uzay ve zaman kategorileri içinde işlediğini belirtmektedir. ⁷ Matematiksel kavrayışın temelinde uzamsal sezgi bulunmaktadır. Bu yaklaşım geometri ile matematik arasındaki ilişkinin önemini yeniden göstermektedir. İnsan zihni önce uzayı kavramakta, ardından nicelik ilişkileri geliştirmektedir.
Çağdaş bilişsel bilim alanında çalışan George Lakoff ve Rafael Núñez de benzer bir noktaya dikkat çekmektedir. Onlara göre matematiksel düşünce bedensel deneyimlerden tamamen bağımsız değildir. İnsan soyut kavramlara somut deneyimlerden hareket ederek ulaşmaktadır. ⁸ Bu görüş matematiksel kavrayışın gerçek cisimlerden başlayarak geliştiğini savunan yaklaşımı desteklemektedir.
Bütün bu değerlendirmeler birlikte ele alındığında matematiksel öğrenmenin doğal sırası daha açık hâle gelmektedir. İnsan önce gerçek nesneyle karşılaşır. Nesne geometrik temsile dönüşür. Geometrik temsil ölçülür. Ölçüm sayısal ilişkilere dönüşür. Sayısal ilişkiler genelleştirilerek formüller oluşturulur. Formüller ise bilimsel açıklamanın araçları hâline gelir. Matematiğin tarihsel gelişimi de insan zihninin öğrenme biçimi de aynı doğrultuda ilerlemektedir.
Bu nedenle matematik eğitiminin merkezine işlem yerleştirmek yerine kavrayışı yerleştirmek gerekmektedir. Kavrayış gerçekliğin görülmesiyle başlar. Geometrik temsil bu gerçekliği düzenler. Sayılar düzeni ölçülebilir hâle getirir. Formüller ise ölçülen ilişkileri genelleştirir. Matematik böylece semboller dünyası olmaktan çıkarak insanın evrendeki düzeni anlama dili hâline gelir.
(Devam edecek…)
¹ Jean Piaget, The Child's Conception of Number, London: Routledge & Kegan Paul, 1952, s. 13.
² Elementler, Kitap I, Tanımlar bölümü, s. 1.
³ Devlet, VII. Kitap, geometri ve eğitim tartışmasının başlangıcı, Stephanus 526c.
⁴ Metafizik, Kitap A (I), Pisagorcuların sayı anlayışının tartışıldığı bölüm, 985b23.
⁵ Jean Piaget ve Alina Szeminska, The Child's Conception of Number, London: Routledge & Kegan Paul, 1952, s. 37.
⁶ Jerome S. Bruner, The Process of Education, Cambridge: Harvard University Press, 1960, s. 44.
⁷ Saf Aklın Eleştirisi, "Transandantal Estetik" bölümü, A22/B37.
⁸ George Lakoff ve Rafael E. Núñez, Where Mathematics Comes From, Bölüm 1, s. 5.
*Bu içerik serbest gazeteci veya konuk yazarlar tarafından hazırlanmıştır. Bu içerikte yer alan görüş ve ifadeler yazara aittir ve Independent Türkçe'nin editöryal politikasını yansıtmayabilir.
© The Independentturkish
Hakkında daha ayrıntılı: matematikgeometriARİTMETİKHasan Köse
DAHA FAZLA HABER OKU
Prof. Dr. Mustafa Çevik Selahaddin Eyyubi: Geleceğin Türkiye'si için ortak bir sembol
Dr. Osman Gazi Kandemir İngiltere için Putin vergisi
Gürsel Tokmakoğlu Yörüngedeki anahtar: Starlink
Dr. Rahim Cavadbeyli & Atilla Altunov Lev Zilber "Filiz" operasyonu (1)
Yorumlar (0)
Giriş yaparak yorum yazabilirsin.
İlk yorumu sen yaz.